3X + 7Y =112

至急お願いします不定方程式2x+3y+z=10を満たす自然数の組xyzをすべて求めよという問題で、解答がyについて整理すると3y=10-2x-zx≧1、z≧1なら3y=10-2x-z≦10-2×1-1=7…でした。なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょう

}\)  (\(\color{red}{k}\):整数), \(\bf{a, b}\) が互いに素である \(\bf{\iff ax + by = 1}\) が整数解をもつ, したがって、\(a, b\) が互いに素でない場合は整数解が存在しないことがあります。, → \(2(2x + 5y) = \text{(偶数)}\) より、これを満たす整数解 \(x, y\) は存在しない, \(ax + by = 1\) かつ \(a, b\) が互いに素であるタイプは、次の手順で必ず解くことができます。, 特殊解は、直感で見つけられる場合(例題①)と、ユークリッドの互除法で見つける場合(例題②)の 2 通りがあります。, \(\begin{array}{rr}& 4x + 5y = 1\\ −) &4(−1) + 5 \cdot 1 = 1 \\ \hline &4(x + 1) + 5(y − 1) = 0 \end{array}\), \(4, −5\) は互いに素なので、\((x + 1)\) は \(−5\) の倍数、\((y − 1)\) は \(4\) の倍数である必要があります。, これを、任意の整数を用いて表現しましょう(\(k, m\) など、なんでもOK)。, \(4(x + 1) = −5(y − 1)\) より、整数 \(k\) を用いて, \(\left\{\begin{array}{l}x + 1 = −5k\\y − 1 = 4k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = −5k − 1\\y = 4k + 1\end{array}\right. 2元2次不定方程式(因数分解可能)と2回出てくるのですが、 例題1の回答は パターン別の解き方や、整数解(特殊解)の見つけ方なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。, また、解のうち、与えられた条件を満たす具体的な 1 つの解を特殊解、解がいくつあっても一般的に成り立つ解を一般解といいます。, 問題文ではさまざまな表現がされるので、何を聞かれているかわかるようにしておきましょう!, 二元一次不定方程式 \(ax + by = c\) (\(a, b, c\) は係数)は、次のチェックポイントにしたがって解き方を決めます。, \(3x + 4y = 15\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \(\left\{\begin{array}{l}y = 3k\\5 − x = 4k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = −4k + 5\\y = 3k\end{array}\right. そして、1組解が求まれば、あとは芋づる式に見つかります。, なぜなら、Xを7増やし、Yを3減らすしかないからです。 の5通りです。, 以下の方程式を満たす、自然数X、Yの組はそれぞれ何通りあるか求めよ。 ユークリッドの互除法とは?証明や整数解の求め方をわかりやすく解説!不定方程式や最小公倍数との関係も!, 解き方D−1 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) 型(因数分解), 解き方D−2 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) 型(判別式), \(ax + by = 1\) と \(ax_0 + by_0 = 1\) の辺々を引く, \(ax + by = 1\) の特殊解 \((x_0, y_0)\) を見つける, \(ax_0 + by_0 = 1\) の両辺を \(c\) 倍し、\(ax + by = c\) から引く, \(\bf{ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0}\), \(y = 1\) のとき \(\displaystyle \frac{D}{4} = 5\) より不適, \(y = 2\) のとき \(\displaystyle \frac{D}{4} = 9 = 3^2\), \(y = 3\) のとき \(\displaystyle \frac{D}{4} = 5\) より不適, \(y = 2\) のとき、\(\displaystyle \frac{1}{z} = 0\) より不適. これで十分とも言えますが、さらに考察をすると、 あとは芋づる式です。Xを8ずつ、Yを3ずつずらしていきます。, 120円のシュークリームと、280円のチーズケーキを何個か買って、合計4480円であった。.

因数分解の公式や基本的な解き方については、右のリンクから確認してください!→「因数分解の仕方(たすき掛け/公式/コツ)まとめ」。, 普通なら解が無数に存在してしまうのですが、「整数」という最強の条件によって、一気に解を絞り込む事が出来るようになります。, このタイプは、条件式の大小関係や、整数⊂実数を利用して判別式に持ち込む。など沢山の手法があります。, $$ \frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1 かつa≤b≤c のとき$$, 解き方の流れは、条件式(ここではa≦b≦c)を変形→最大or最小の文字を3つ並べて挟みこみ、文字消去→場合分け→因数分解型に帰着。です, $$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1 $$・・・1に近づけます。, a,b,cは自然数より、逆数を取ると、$$\frac {1}{c}≤\frac {1}{b}≤ \frac {1}{a}・・・2$$, ここで1、2より$$\frac {1}{a}+\frac {1}{a}+\frac {1}{a}=\frac {3}{a}$$, $$\frac {3}{a}\geq\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1$$, $$\frac {3}{a}\geq 1\Leftrightarrow 3\geq a\geq 1$$, (ⅰ)a=1 の時、1のaに代入する1/1+1/b+1/c=1 ⇔1/b+1/c=0, ここで前回と同じ様に(無理矢理因数分解で変数の積の係数が1でない時)忘れていたら↓で詳しく解説しています.), $$\left( b-\frac {3}{2}\right) \left( c-\frac {3}{2}\right) =\frac {9}{4} と3≦b≦c よりb,cは3,3$$, a≦b≦c 但し (a、b、c)は自然数とする。この時  abc= a+b+c を満たす(a,b,c)の組を求めよ。, (ここから上3通りを『abc= a+b+c』にそれぞれ代入し、条件を満たすかチェックします), (ⅰ) 1・1・c=2+c ⇔ c=2+c となり、このようなcは存在しないので、『解なし』。, 今日の例題は不定方程式の整数解の絞り込み型2タイプの解説をしました。前回の因数分解型と合わせてよく復習しておいてください。, 当サイトのtwitter(@linkyjuku_tweet) フォローをお願いします!. 3X+8Y=82, 3X+8Y=82 を見つけます。 ありがとうございます!

青の小見出しのところに、 不定方程式の解法整理第2弾 今日は前回の不定方程式の解法整理(因数分解型) の続編として、整数条件を活かした絞り込み型と余りの利用型を解説していきます。 2次試験対策, 基礎編・センター対策, この場合は無理やり\( axy+bx+cy=d\)を\( A(x+B)(y+C)=D \)の形に変形します。その後で,BやCがなるべく分数にならないようにAを調整するのがポイントです。具体例でみてみましょう。, このときの基本は「axy+bx+cy+d’はa:b=c:d’」だったらきれいに因数分解できるのにな・・・と思うことです。つまり\( 3xy+5x+6y+10=(x+2)(3y+5) \)と因数分解できるのに・・・と思うことです。, (x+2,3y+5)=(1,20),(2,10),(4,5),(5,4),(10,2),(20,1),(-1,-20),(-2,-10),(-4,-5),(-5,-4),(-10,-2),(-20,-1), ここからx,yを計算すれば良いですがまだ大変なので何かしぼりこめないか考えます。するとyが整数ならば3y+5は3で割って余りが2(つまり1を加えたら3の倍数)となっています。それに気づくともう1段階絞り込めて次のようになります。, (x+2,3y+5)=(1,20),(4,5),(10,2),(-2,-10),(-5,-4),(-20,-1), (x,y)=(-1,5),(2,0),(8,-1),(-4,-5),(-7,-3),(-22,-2)となります。, なぜなら(x,y)=(a,b)が解とわかれば(x,y)=(b,a)も解であることがすぐわかるからです。, (x,y)=(±4,±3),(±3,±4),(±5,0),(0,±5) (複号任意), 他の場合は最初に紹介したような”定数項を無視して因数分解”する方法ができればそれを実行します。, xが負かもしれないので2xyがどれぐらいマイナスになるかわかりません。なので先ほどのような絞り込みはいきなりはできません。なので2xyを消せるようにうまく変形したくなります。, \( x^2+2xy+\cdots \)となっているので\( (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \)が見えてくるでしょう。これを用いて変形してみるとうまくいきます。, \( x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2=25 \)なので前の例題と同様にすると, (x,y)=(1,3),(7,-3),(-7,3),(-1,-3),(-1,4),(7,-4),(-7,4),(1,-4),(5,0),(-5,0),(-5,5),(5,-5), \( ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=f \)を降べきの順に整理すると\( ax^2+(by+d)x+(cy^2+ey-f)=0 \)となります。よって解の公式を用いるとxの値が計算できます。, さらに整数になるには√が整数になる必要があるので√の中が平方数になることが必要です。条件①で絞り込んだ値を代入し,平方数になるものを探します(条件②), なお,3次式以上の場合は基本的に因数分解するしかありません。何らかの方法で因数分解できないか探しましょう。定数項は無視してもOKなのが重要ポイントとなります。, 数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, 例題:不定方程式\( 3xy+5x+6y=10 \)を解け。つまりこれを満たす整数(x,y)の組をすべて求めよ。, ちなみにこの例で「axy+bx+cy=d」を「A(x+B)(y+C)=D」の形に変形すると, ここまで絞り込めなくても\( x^2 \leq 25\)まで絞り込めればあとは気合でも可能です。しかし,, 例:\( x^2+2xy+2y^2=25 \)を満たす整数(x,y)の組をすべて求めよ。, 上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。よろしくお願いします。, Facebook で共有するにはクリックしてください (新しいウィンドウで開きます). 扱う数が小さくなればこの後の計算も楽ですし、カンで解が分かってしまうこともありますね。, 今回は、112が7の倍数になっています。 なので、 (x+y,y-1)=(4,0)or(0,4), この速度で頭を動かすと、細部に多数のミスが起こるのは当然です。畢竟するに、包含するんですよ。注意力を意識力というのが。, AI化が進むこれからの時代、青チャートのシェアをこの解説が席巻することを強く望みました。, コメントありがとうございます。 {a、b、c}={2、3、6}{2、4、4}{3、3、3}

X=7,14、21,28,35 © 2020 受験辞典 All rights reserved.

とします。 正の数と負の数 22 文字と式(中学) 19 一次方程式 23 比例と反比例(中学) 16 平面図形(中学) 33 高校数学全般 6 実数 30 展開と因数分解 28 集合と命題 38 一次不等式 17 二次関数 99 三角比 75 データの分析 43 場合の数 … 3X + 7Y = 112 このブログもその時代の到来の一助となれば嬉しい限りです。, 今回はどれも整数のものしか出てきたのでどちらも適していますが、整数にならない解が出てくることも多々あるので注意しましょう, $x,\,y$のうちどちらか1文字の2次方程式と見て、それが実数解を持つための条件を考えます.

この式を40で割って、

(3と7の最小公倍数ずつずらすしか適するものがない), この問題の答えは、シュークリームを買った個数(=X)は何通りありうるか、 (-3,1)(1,1)(-3,3)(1,-1)ではないでしょうか。, {(x+y)^2}+{(y-1)^2}=4と変形して よって、3Xも偶数にならないといけません。, つまり、X=2,4,6・・・と調べていくことで、あてはまる解を見つけることができます。 高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。さらに大学受験突破の勉強テクニックなどを紹介, 2017/9/19

X,Yの2つに未知数に対して式は1つなので、 この方程式の解は無限に存在します。 ただし、X、Yともに正の整数という制限があるので、この文章題の答えは有限個になります。 このような問題を、不定方程式の自然数解といいます。 }\) (\(\color{red}{k}\):整数), \(ax + by = 1\) 型では、直感で特殊解を見つけられることが意外と多いです。, 不定方程式 \(92x + 197y = 1\) を満たす整数 \(x, y\) の組を求めよ。, \(92 − (197 − 92 \times 2) \times 7 = 1\), \(92 − (197 \times 7 − 92 \times 2 \times 7) = 1\), \(92 \times 15 + 197 \times (− 7) = 1\) …④, \(\begin{array}{rr}&92x + 197y = 1 \\ −) & 92 \cdot 15 + 197(−7) = 1\\ \hline &92(x − 15) + 197(y + 7) = 0 \end{array}\), \(92\) と \(197\) は互いに素なので、\(k\) を任意の整数とすると、, \(\left\{\begin{array}{l}x − 15 = 197k\\y + 7 = − 92k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = 197k + 15\\y = −92k − 7\end{array}\right. 対称式の不定方程式の場合は、仮に大小関係を決めてみる。x+y+z=xyzを満たす自然数x、y、zの組を求めよ、という頻出問題で、x≦y≦zと仮定してみる。 条件と仮定により、xとyの組は3つに絞れたが、これを与式 …

対称式の不定方程式の場合は、仮に大小関係を決めてみる。x+y+z=xyzを満たす自然数x、y、zの組を求めよ、という頻出問題で、x≦y≦zと仮定してみる。 条件と仮定により、xとyの組は3つに絞れたが、これを与式に其々代入して適合するか調べる。

ありがとうございます。, 2元2次(因数分解不可能)の解は、 不定方程式の4パターンの問題の解き方を一覧で載せておきます。 大学入試では、整数問題はひらめきを必要とする難しい問題が多いです。そこで、私はひらめきのパターンに慣れるために、網羅的に整数問題を解いて学習していました。 私が使っていたのは、この「マスターオブ整数 … 3×0+7×16 =112 では?. 82は8でも3でも割り切れないからです。, しかし、82と8に公約数があります。 ベク[…], この記事を読むと分かること ・二重根号とは何か ・二重根号の外し方や注意点 ・なぜ二重根号が外せるのか ・二重根号が外せないケース ・二重根号を外す問[…], 「2元1次方程式の解き方」の「問題1」の整数解 (の1つ) は(x,y)=(3,-1)ではなく(x,y)=(3,-2)だと思います。, 問題2は(x,y)=(5,-6), (5,-8) もありです。( (3x+2y-1,x+y+2)=(±2,±1) (複号同順) より), とても分かりやすい内容、ありがとうございます!

}\)  (\(\color{red}{k}\):整数), \(a, b\) が互いに素であれば、\(ax + by = 1\) の整数解が必ず存在するのでした。, したがって、\(ax + by = 1\) の特殊解を \(c\) 倍してあげたものは必ず \(ax + by = c\) の特殊解になりますね。, \(51 \cdot 1 − 25 \cdot 2 = 1\) の両辺を \(19\) 倍して, \(\begin{array}{rr}&51x − 25y = 19 \\ −) &51 \cdot 19 − 25 \cdot 38 = 19 \\ \hline &51(x − 19) − 25(y − 38) = 0 \end{array}\), \(51(x − 19) = 25(y − 38)\) より、整数 \(k\) を用いて, \(\left\{\begin{array}{l}x − 19 = 25k\\y − 38 = 51k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = 25k + 19\\y = 51k + 38\end{array}\right.

2です。 2個目は(因数分解不可能)の間違いですか?, ご指摘の通り、因数分解不可能とすべきところが因数分解可能となっていました。 つまり、8Yも82も、2の倍数(偶数)になっています。 上野竜生です。不定方程式の解き方を勉強します。基本パターン2つを詳しく説明し,応用パターンを軽く紹介します。基本パターン1:axy+bx+cy=dのパターンこの場合は無理やり\( …

パターン別!不定方程式の【種類と解き方】 ここでは、よく出る代表的なパターンの不定方程式を紹介します。 それぞれの解き方は対応する章で説明します。 二元一次不定方程式 未知数が \(2\) 種類で、次数が \(1\) の方程式 …

つまり、X、Y=(0,16)が見つかります。, X=0は、文章題の答えとしては不適ですが、この不定方程式の解としてはOKです。

不定方程式(未知数の方が方程式の数より多い)の中で解が整数であるものの解法のうち、因数分解を用いた解き方の基本を解説しています。... プロ講師(数学/物理/化学/英語/社会)兼個別指導塾YES主宰/当サイト「スマホで学ぶサイト、スマナビング!」を運営しています。/指導中、実際に生徒が苦手意識を持っている単元について解説記事を執筆。詳細は【運営元ページ】をご覧ください。, スマナビング!は、いつ・どこでも(独学でも)資格試験(電験三種、数検、統計検定・就活のためのSPI(非言語)etc,,,)対策や、テスト勉強対策が出来るサイトです。. 112÷7=16 120円のシュークリームと、280円のチーズケーキを何個か買って、合計4480円であった。